제2장
주요내용과 질문
2.1 Distributions of Functions of a Random Variable
- [Q] 확률변수 X 가 주어졌을 때, 새로운 확률변수 g(X)의
분포는 어떻게 정의되는가? - 식 (2.1.2)의 이해.
- [Q] 이 때, 함수 g는 연속함수이어야만 하는가?
- [Q] 또는, 함수 g는 일대일 대응 (즉, 역함수가 존재하는)
함수이어야만 하는가? - 정리 2.1.3
- [Q] 확률변수 X 가 주어졌을 때, g(X)의 분포를 알아내는
방법에는 어떤 것들이 있나? -정리 2.1.3, 2.1.5, 2.1.8
- Probability integral transformation - 정리 2.1.10과 그
증명
- Probability integral transformation 과 난수생성
2.2 Expected Values
- 기대값의 정의
- [Q] 기대값의 존재 정의를 E(X) <
라고 하지 않고 E(|X|) < 
라고 한 이유는?
- [Q] 확률변수 X의 기대값은 항상 존재하는가? - Example
2.2.4 Cauchy random variable
- 정리 2.2.5
- 식 (2.2.3)의 의미
- 확률변수 X 가 주어졌을 때, 새로운 확률변수 g(X)의 기대값을
구하는 두 가지 방법
2.3 Moments and Moment Generating Functions
- moment, central moment
- moment generating function (mgf, 적률생성함수)
- [Q] 정리 2.3.7의 증명에서 적분과 미분의 순서를 바꿀 수
있다는 가정이 필요하다. 이 가정이 만족됨을 증명할 수 있는가?
- gamma function, gamma pdf
- 모든 확률변수의 mgf가 존재하는 것은 아니다.
- 적률생성함수(mgf)는 분포를 결정한다. 즉, 어떤 확률변수의
mgf가 존재하면 그 mgf는 유일하며 확률변수의 분포가 결정된다. - 정리 2.3.11
b
- 하지만 적률(the infinite sequence of moments)은 분포를
결정하지 못한다. 즉, 분포가 서로 다른 두 확률변수가 동일한 적률을 가질 수
있다. - Example 2.3.10
- [Q] 적률이 분포를 결정하기 위한 충분조건은? - 정리 2.3.11
a
- [Q] '확률변수의 적률생성함수가 존재한다'는 명제와 '확률변수의
(모든 차수의) 적률이 존재한다'는 명제는 동등(equivalent)한가?
[A] 아니다. Exercise 2.36
- mgf의 수렴으로 분포의 수렴을 밝힐 수 있다. - 정리 2.3.12와
Example 2.3.13 (참고: '이항 분포의 포아송 근사'(Example
2.3.13)를 mgf의 수렴을 이용하지 않고 직접 증명할 수 있다.)
2.4 Differentiating under an Integral Sign
- [Q] 적분과 극한의 순서 교환 가능성(이 문제는 1식에 의해
미분과 적분의 교환 가능성 문제로 생각할 수 있다)은 왜 중요한가?
- [Q] 미분과 적분의 순서를 바꾸면 안 되는 예제를 들어 보자:
제2장 연습문제(숙제)
이 어떤 성질을 만족할 때) 적분과 극한( 
)의 순서 를 바꿀 수 있는가에 대한 정리이다: (이 때, 적분은 Lebesgue적분)
. 
가 어떤 성질을 만족할 때 위 식들이 성립하느냐에 대해 다루었다.