Á¦6Àå ÁÖ¿ä³»¿ë ¹× Áú¹®
¸ðÁý´ÜÀÇ Æ¯¼º ¥è¿¡ °üÇÑ Á¤º¸¸¦ ¾Ë±â À§ÇØ n°³ÀÇ °üÃø°ª X1, X2, ... ,XnÀ» ¾ò¾úÀ» ¶§, ÀÌ n°³ÀÇ °ªÀÇ ¸®½ºÆ®°¡ ´Ù ÇÊ¿äÇÑ °ÍÀº ¾Æ´Ï´Ù. ±×·¸´Ù¸é ¾î¶»°Ô ÀڷḦ ¿ä¾à(summary), ¶Ç´Â Ãà¾à(reduction)ÇÒ ¼ö ÀÖ´Â °ÍÀϱî? ÀÌ Àå¿¡¼´Â ÀÚ·áÃà¾à(data reduction)ÀÇ ¼¼ °¡Áö ¿øÄ¢¿¡ ´ëÇØ °øºÎÇÑ´Ù.
[Q] ´ÙÀ½ ¹®ÀåÀÌ ÀǹÌÇÏ´Â ¹Ù´Â ¹«¾ùÀΰ¡? "Data reduction in terms of a particular statistic can be thought of as a partition of the sample space."
6.2 The Sufficiency Principle
ÀμöºÐÇØ Á¤¸®´Â Åë°è·® T(X)°¡ ÃæºÐÅë°è·®ÀÌ µÇ±â À§ÇÑ ÇÊ¿äÃæºÐÁ¶°Ç¿¡ °üÇÑ Á¤¸®¶ó´Â Á¡¿¡ À¯ÀÇÇÏ°í Áõ¸íÀ» ÀÌÇØÇÏÀÚ.
Example 6.2.8: xÀÇ ¹üÀ§°¡ ¸ð¼ö ¥è¿¡ ÀÇÁ¸ÇÏ´Â °æ¿ì ÁÖÀǸ¦ ¿äÇÔ.
Theorem 6.2.10: ºÐÆ÷°¡ Áö¼öÁ·ÀÏ ¶§ ÀμöºÐÇØÁ¤¸®¿¡ ÀÇÇØ ÃæºÐÅë°è·®À» ½±°Ô ãÀ» ¼ö ÀÖ´Ù.
Á¤ÀÇÇÒ Çʿ伺°ú ±× Á¤ÀÇ. ±×¸®°í ã´Â ¹æ¹ý(Theorem 6.2.13, Example 6.2.14, Example 6.2.15).
ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®ÀÇ ÀÏ´ëÀÏ ÇÔ¼ö´Â ´Ù½Ã ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®ÀÌ µÇ¹Ç·Î ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®ÀÌ À¯ÀÏÇÏÁö´Â ¾ÊÁö¸¸, ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®¿¡ ÀÇÇÑ ºÐÇÒÁýÇÕ(partition sets)ÀÇ ¼ö ¶Ç´Â ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®ÀÌ °¡Áú ¼ö ÀÖ´Â °ªÀÇ °³¼ö´Â À¯ÀÏÇÏ´Ù.
[Âü°í] Áö¼öÁ·ÀÏ ¶§(º¸´Ù ¾ö¹ÐÇÏ°Ô´Â full rankÀÎ Áö¼öÁ·ÀÏ ¶§, full rank exponential familyÀÇ Á¤ÀÇ´Â Lehmann (1983), Theory of Point EstimationÀÇ 28ÂÊ ÂüÁ¶), ÃæºÐÅë°è·® T(X)=(¢²t1(Xj), ... ,¢²tk(Xj))´Â ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®ÀÌ µÈ´Ù. (Example 5.9 in Lehmann(1983))
Á¤ÀÇ
Çʿ伺: µÎ Åë°è·®ÀÌ µ¶¸³ÀÓÀ» º¸À̱Ⱑ ÀϹÝÀûÀ¸·Î ½±Áö ¾ÊÀºµ¥, º¸Á¶Åë°è·®ÀÓÀ» ÀÌ¿ëÇÏ¸é µ¶¸³¼ºÀ» ½±°Ô º¸ÀÏ ¼ö ÀÖ´Â °æ¿ì°¡ ÀÖ´Ù (Theorem 6.2.24, BasuÀÇ Á¤¸®¿Í Example 6.2.26, Example 6.2.27 ÂüÁ¶). º¸Á¶Åë°è·® ÀÚü´Â ¸ð¼ö ¥è¿¡ °üÇÑ Á¤º¸¸¦ ÁÖÁö ¾ÊÀ¸³ª ´Ù¸¥ Åë°è·®°ú °°ÀÌ ¾²ÀÏ ¶§ ¸ð¼ö¿¡ °üÇÑ Áß¿äÇÑ Á¤º¸¸¦ ÁÙ ¼ö ÀÖ´Ù (Example 6.2.20),
ÁÖ¾îÁø Åë°è·®ÀÌ º¸Á¶Åë°è·®ÀÎÁö¸¦ ¹àÈ÷´Â ¹æ¹ý: Åë°è·®ÀÇ ºÐÆ÷¸¦ Á÷Á¢ ±¸ÇØ ±× ºÐÆ÷°¡ ¥è¿¡ ¹«°üÇÔÀ» º¸Àδ٠(Example 6.2.17¿¡¼´Â pdf¸¦ Example 6.2.18°ú 6.2.19¿¡¼´Â cdf¸¦ ±¸ÇßÀ½).
Á¤ÀÇ
Çʿ伺: ÁÖ¾îÁø ¹®Á¦¿¡¼ ÃæºÐÅë°è·®Àº ¿©·¯ °³°¡ ÀÖÀ» ¼ö ÀÖ´Ù. ÀÌ ¶§ °¡Àå Ãà¾àÀ» ¸¹ÀÌ ÇÏ´Â ÃæºÐÅë°è·®, Áï ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®Àº ¾î¶² ¼ºÁúÀ» °®°í ÀÖÀ»±î? ÀÌ Àǹ®¿¡ µµ¿òÀ» ÁÖ´Â °³³äÀÌ Åë°è·®ÀÇ ¿Ïºñ¼º(completeness)Àε¥, 'ÃæºÐ¿ÏºñÅë°è·®Àº ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®ÀÓ(A complete sufficient statistic is always minimal)'ÀÌ ¾Ë·ÁÁ® ÀÖ´Ù. ÀÌ Àý¿¡¼´Â ¿Ïºñ¼ºÀÌ ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®°ú º¸Á¶Åë°è·®ÀÌ µ¶¸³ÀÌ µÇ±â À§ÇÑ Á¶°Ç(Theorem 6.2.24: BasuÀÇ Á¤¸®)À¸·Î ¾²¿´À¸³ª, 7Àå(Theorem 7.3.23)¿¡¼ ¾î¶² ÃßÁ¤·®ÀÌ ÃּҺлêºñÆíÇâÃßÁ¤·®(UMVUE ¶Ç´Â best unbiased estimator)ÀÌ µÇ±â À§ÇÑ Á¶°ÇÀ¸·Î ¾²À̱⵵ ÇÑ´Ù.
ÁÖ¾îÁø Åë°è·® T(X)°¡ ¿ÏºñÅë°è·®ÀÎÁö¸¦ ¹àÈ÷´Â ¹æ¹ý: Á¤ÀÇ¿¡ µû¶ó, ¸ðµç ¥è¿¡ ´ëÇØ E¥èg(T)=0¸¦ ¸¸Á·½ÃÅ°´Â ÇÔ¼ö g´Â 0ÇÔ¼ö(Áï, g(T)=0)¹Û¿¡ ¾øÀ½À» º¸ÀÌ¸é µÇ´Âµ¥, ±¸Ã¼ÀûÀ¸·Î º¸ÀÌ´Â ¹æ¹ýÀº ¹®Á¦¿¡ µû¶ó ´Þ¶óÁø´Ù. (Example 6.2.22, 6.2.23)
Áö¼öÁ·ÀÏ ¶§ ÃæºÐÅë°è·® T(X)´Â ¿ÏºñÅë°è·®ÀÌ´Ù. (Theorem 6.2.25, Áõ¸í »ý·«)
Áõ¸í: Áõ¸í¿¡¼ minimality´Â ¾²ÀÌÁö ¾Ê¾ÒÀ½¿¡ À¯ÀÇ. Áï, Á¤¸®¿¡¼ minimal sufficient ¸¦ sufficient·Î ´ëÄ¡Çصµ Á¤¸®´Â ¼º¸³ÇÑ´Ù. completeÇÏ¸é¼ sufficientÇÑ Åë°è·®Àº minimal sufficientÇϹǷΠcomplete & minimal sufficient¸¦ complete & sufficient·Î ¹Ù²Ù¾îµµ ³»¿ëÀûÀ¸·Î´Â ¸¶Âù°¡Áö´Ù.
¿ëµµ: ÀÌ Á¤¸®ÀÇ ¿ëµµ´Â, µÎ Åë°è·®ÀÇ µ¶¸³¼ºÀ» º¸ÀÌ°í ½ÍÀ» ¶§ joint distributionÀ» ±¸ÇÏÁö ¾Ê°íµµ º¸ÀÏ ¼ö ÀÖ´Ù´Â µ¥¿¡ ÀÖ´Ù. ÇÏÁö¸¸ BasuÀÇ Á¤¸®À» ÀÌ¿ëÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸·Á¸é Åë°è·®ÀÇ ¿Ïºñ¼ºÀ» º¸¿©¾ß Çϴµ¥, ÀϹÝÀûÀ¸·Î Åë°è·®ÀÇ ¿Ïºñ¼ºÀ» º¸À̱â ÈûµéÁö¸¸ Áö¼öÁ·ÀÎ °æ¿ì´Â Á¤¸® 6.2.25¸¦ ÀÌ¿ëÇÏ¸é ¿Ïºñ¼ºÀ» µû·Î Áõ¸íÇÒ ÇÊ¿ä°¡ ¾ø´Ù. BasuÀÇ Á¤¸®ÀÇ ¿ëµµ´Â Example 6.2.26°ú 6.2.27 ÂüÁ¶. Example 6.2.26¿¡¼´Â Åë°è·®ÀÇ ±â´ë°ªÀ» ±¸ÇÏ´Â µ¥¿¡ BasuÀÇ Á¤¸®¸¦ ÀÌ¿ëÇÏ¿´´Ù.
6.3 The Likelihood Principle
6.3Àý¿¡¼´Â, °¡´ÉµµÇÔ¼ö(likelihood function)°¡ ¥è¿¡ °üÇÑ Á¤º¸¸¦ ´Ù °®°í ÀÖ´Ù°í ÇÏ´Â, ´õ Á¤È®È÷ ¾ê±âÇϸé, 'µÎ °üÃø°ª x¿Í y¿¡¼ °¡´ÉµµÇÔ¼öÀÇ ºñ°¡ ¥è¿¡ ¹«°üÇÏ¸é µÎ °üÃø°ª¿¡¼ ¾ò´Â Á¤º¸(¶Ç´Â Ãß·Ð, °á·Ð )´Â °°´Ù '¶ó´Â Likelihood Principle(291ÂÊ)À» ¼Ò°³ÇÏ°í, ¼·Î ´Ù¸¥ µÎ ½ÇÇèÀÇ °æ¿ì(Formal Likelihood Principle, 293ÂÊ)·Î È®ÀåÇÏ¿´´Ù.
6.4 The Equivariance Principle
¹° ²ú´Â ¿Âµµ ¥è¸¦ ÃßÁ¤ÇÏ´Â ¹®Á¦¸¦ »ý°¢ÇØ º¸ÀÚ. ÇöÀç À§Ä¡ÀÇ °íµµ³ª ¹°¿¡ ÀÖ´Â À̹°Áú µîÀ¸·Î ÀÎÇØ ¹° ²ú´Â ¿Âµµ°¡ 100µµ¿Í ´Ù¸¦ ¼ö ÀÖ´Ù. ¼·¾¾·Î ¿Âµµ¸¦ Àç¼ ¾òÀº °ªÀ» x¶ó°í ÇÒ ¶§, ÀÌ·ÐÀûÀÎ °ª 100°ú °üÃø°ª x¿¡ °¢°¢ 0.5ÀÇ °¡ÁßÄ¡¸¦ µÐ ÃßÁ¤·® T(x)=0.5x + 0.5(100)À» »ý°¢Çغ¸ÀÚ. ÀÌ ÃßÁ¤·®¿¡ ´ëÇØ ¾î¶»°Ô »ý°¢Çϴ°¡? Exercise 6.39¿¡¼¿Í °°ÀÌ ÀÌ ÃßÁ¤·®Àº Formal invariance¸¦ ¸¸Á·ÇÏÁö ¾ÊÀ¸¹Ç·Î Invariance principle¿¡ À§¹èµÈ´Ù. µû¶ó¼ Invariance principleÀ» ÀÎÁ¤ÇÑ´Ù¸é T(x)´Â ÁÁÀº ÃßÁ¤·®ÀÌ ¾Æ´Ï´Ù.
Á¤±ÔºÐÆ÷¿¡¼ Æò±Õ°ú ºÐ»êÀÌ ¸ðµÎ ¾Ë·ÁÁ® ÀÖÁö ¾ÊÀ» ¶§, ºÐ»êÀÇ ÃæºÐÅë°è·®Àº ¹«¾ùÀϱî? ºÐ»ê¿¡ ´ëÇÑ Á¤º¸´Â Ç¥º»ºÐ»êÀÌ ´Ù °®°í ÀÖ´Â °ÍÀÌ ¾Æ´Ò±î? Example 6.2.14¿¡¼ Ç¥º»Æò±Õ°ú Ç¥º»ºÐ»êÀÌ Æò±Õ°ú ºÐ»êÀÇ ÃÖ¼ÒÃæºÐÅë°è·®ÀÓÀ» º¸¿´À¸³ª, ÀÌ »ç½Ç·ÎºÎÅÍ Ç¥º»ºÐ»êÀÌ ºÐ»êÀÇ ÃæºÐÅë°è·®ÀÌ µÈ´Ù°í ¸»ÇÒ ¼ö´Â ¾ø´Ù. ÀÌ ¶§ ÀÌ Àý¿¡¼ ¼Ò°³ÇÏ°í ÀÖ´Â Equivariance principleÀ» ÀÎÁ¤ÇÏ¸é ºÐ»êÀÇ ÃßÁ¤·®Àº Ç¥º»ºÐ»ê¸¸ÀÇ ÇÔ¼ö°¡ µÇ¾î¾ß ÇÔÀ» ¹àÈú ¼ö ÀÖ´Ù. (Á¦1ÆÇ Example 6.3.5 ÂüÁ¶)
Á¦6Àå ¿¬½À¹®Á¦(¼÷Á¦)
1 3 6 8 9 (a b) 10 12 14 15 17 18 22 30