참조: 월간 과학동아 2000년 6월호 [생활속의 수학] '배꼽은 사람 몸을 황금분할한다.'
1개의 선을 두 개의 선분 a와 b로 분할(a<b)할 때 b:a=(a+b):b가 되도록 하는 것이 황금분할이다. a=1이라고 한다면 b는 약 1.618 (= (1+√5)/2)이 된다. 이 비율을 황금비율이라고 한다.
사람 몸을 황금분할하는 점이 배꼽이라는 가설을 검증하기 위해 키(b)와 배꼽의 높이(a)를 실제 측정하여 μ=E(b/a)를 추정하여 보자.
1. 확률변수 X의 정의
n명의 학생을 대상으로 관측값 X1,...,Xn을 얻는다고 하자. 이 때, Xi를 어떻게 정의해야 하는가?
2. 자료의 탐색적 분석 (Exploratory Data Analysis)
잘못 입력된 자료나 특이한 자료가 있는가? 개인 차이는 어느 정도인가? 남녀별 차이는 존재하는가?
3. μ의 점추정과 구간추정
관측값 X1,...,Xn으로부터 μ를 어떻게 추정할 수 있는가?
식을 이용하여 신뢰구간을 구하려면 관측값 X1,...,Xn으로부터 어떤 값을 계산해야 하는가?
ISP를 이용하여 신뢰구간을 구하여 보자.
4. 측정오차의 문제
측정기기와 실험자의 정확성, 반올림에 의한 오차 등 측정의 한계 때문에 측정오차가 생긴다. 이 측정오차는 언제 문제가 되는가? 그리고 측정오차를 확률모형에 어떻게 반영해야 하는가?
한 가지 방법: Xi = μ + εi, 이 때 μ는 모든 학생의 평균값(키와 배꼽의 높이 비율을 모든 학생들에 대해 관측했을 때그 평균값)이고, εi는 개인 차이와 측정오차를 포함한 값으로서 그 평균이 0임을 가정한다. 측정오차의 평균값이 0이면 μ를 추정하는 데에 편향을 가져오지 않는다. 즉, E(Xi) = μ 이다.
만약 줄자로 키를 재는데, 그 줄자가 늘어져서 항상 정확한 값보다 작은 값을 나타낸다면 어떤 문제가 생기나 생각해보자.
1. 반 1은 수학정보통계학과군 2000학번 가반, 반 2는 나반을 나타낸다. 그리고 성별 1은 남자, 2는 여자임.
2. 두 반 중 한 반은 신발을 신은 상태로 측정하였고, 다른 한 반은 신발을 벗고 측정하였음.
반 성별 키 배꼽의 위치
2 2 162.1 101
2 2 165.4 98
2 2 163.5 98.5
2 2 162.1 96.9
2 2 164.4 95.5
2 2 153.8 92.6
2 2 160.3 94.4
2 1 169 101.5
2 1 172.5 103.3
2 1 173.3 102.5
2 1 176.2 106.1
2 1 173.5 102.5
2 1 167.3 97.1
2 1 180.3 108
2 1 177.3 105.3
2 1 176.9 106
2 1 174.7 103.5
2 1 184.5 111.5
2 1 171.2 102.8
2 1 170.1 101.1
2 1 185 109.5
2 1 168 96.1
2 1 170.2 101
2 1 176.7 105.3
2 1 179.6 108.5
2 1 174 103.5
2 2 159.4 94.5
2 2 165 100
2 2 165.7 90.3
2 2 164.4 100
2 2 157.2 95
2 2 162.3 96.5
2 2 167.9 103.5
2 2 167 100
2 2 157.7 98
2 2 156 94
1 2 161 95.3
1 2 164.9 100.4
1 2 168.2 101
1 2 166 102
1 2 163.2 102.4
1 2 163.8 102
1 2 172.7 104.2
1 1 174.4 104.1
1 1 178.5 109
1 1 182 108
1 1 181 107.5
1 1 171.5 100
1 1 178 107
1 1 171 102.8
1 1 168.5 98.5
1 1 182 111
1 1 181.2 111
1 1 173.4 102.1
1 1 173.4 101.9
1 2 165 101.2
1 2 163 97.5
1 2 164.5 97.8
1 2 158.5 96.5
1 2 160.6 96
1 2 157.8 92.8
1 2 156.4 98.4
1 2 163.5 101
1 2 172 104
1 2 165.2 104.8
1 2 158.5 97.4
1 2 161.8 95.5
1 2 166.8 98.8
1 2 159.6 95
1 2 173.5 108.2
1 2 169 103.8
1 1 170 102.2
1 1 176.2 103.4
1 1 172.6 103.6
1 1 173.5 104.4
1 1 178 107.4
1 1 186.1 115.4
1 1 176.2 105
1 1 164.7 99.7
1 1 183.8 115.7
1 1 180.7 111.6
1 1 168 101.8
1 1 184.6 110.4
1 1 187.6 114.7
1 1 175.3 108.2
1 1 170 104